Тригонометрія

       Тригономе́трія (від грец. τρίγονο — трикутник та μετρειν — вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) — розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
        Основним інструментом тригонометрії є тригонометричні функції, визначені для прямокутного трикутника, що значно полегшують обчислення, оскільки дозволяють замінити геометричні побудови, алгебраїчними операціями.
        Для початку, в тригонометії кут можна задавати двома спобами: в радіанній мірі та градусній.Радіанною мірою кута називається відношення довжини дуги, що стягується цим кутом, до радіуса відповідного кола.
        Звязок градусної та радіанної міри кута: щоб перейти від градусної міри кута до радіанної, потрібно посножити її на  π/180.

Градуси	0	30	45	60	90	120	135	150	180	270	360
Радіани	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π	3π2	2π

                   А щоб перейти від радіанної міри до градусної треба радіанну міру помножити на 180/ π.


sin,cos,tg,ctg.

           Sin кута α називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

                                  sinα =y/с 

         Соs  кута   α   називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

                                  cosα =х/с

         Tg  кута   α       називається  відношення протилежного катета до прилеглого.

                                                tg α =y/x 

         Ctg  кута   α   називається відношення прилеглого катета до протилежного.

                                              ctg α =x/y

         Значення тригонометричних функцій для табличних кутів.

            
        Обмеженість тригонометричних функцій.
         -1≤ sinα ≤ 1                  -1≤ cosα ≤1
        -∞ ≤ tg α ≤ ∞          -∞ ≤ ctg α ≤ ∞


    

       

Геометрична прогресія

    Геометрична прогресія - це послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого члена послідовності до попереднього є числом сталим, це число називається знаменником геометричної прогресії. Знаменник геометричної прогресії не дорівнює одиниці. Якщо модуль знаменника більше одиниці, то така полідовність чисел зростає. У випадку коли знаменник більше за нуль але менше за одиницю - така послідовність спадна. Якщо знаменник менше нуля, тобто є відємним числом, то прогресія є знакозмінною.
   
Теорема. Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідні. Тобто
                                                         

                                                            b_n²=b_n-1b_{n+1         (*)}

 

     Для того щоб знайти значення n-го члена геометричної прогресії, візмемо ,наприклад,
послідовністьчисел 2,4,8,16,32... , і знайдемо значення 10 елемента цієї прогресії:
                              1) Позначимо перший член прогресії: b₁= 2;
                              2) Знайдемо знаменник прогресії: q = b₂ / b₁= 4/2 =2;
                              3) Скористаємося формулою: b_n =b₁*q^(n-1) = 2*2⁹=1024.


 Формула суми n- перших членів геометричної прогресії:
                           S_n=(b₁(qⁿ-1))/(q-1)    ,при умові, що  q не дорівнює нулю.
             Або        S_n=(b_nqⁿ-b₁)/(q-1)    ,при умові, що  q не дорівнює нулю.

Порада для розв`язування задач із геометричною прогресією:

Для розв’язання більшості задач на геометричну прогресію, а також комбінованих задач на прогресії зручно діяти так: усі дані задачі на арифметичну прогресію виразити через  b₁ і q, і скласти рівняння або систему рівнянь за умовою задачі (або використовуючи властивість(*) ).

Арифметична прогресія

  Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додане одне і те саме число.
                        

                                       a_n+1=a_n+d , де d- різниця арифметичної прогресії.

                                                             

                                                             d = a₂-a₁

Для того щоб знайти один із елементів арифметичної прогресії потрібно скористатися такими формулами: 

                              1)   a_n =a₁+d(n-1)     , де n- порядковий номер числа a_n .    

                             

                               2)  a_n =(a_n-1+a_n+1) /2  ,   a_n-1  - попередній член арифметичної прогресії стоїть  перед   a_n.

                                                                        a_n+1 - наступний член арифметичної прогресії який іде після  a_n.

                                                                             

        Знаходження суми n- членів арифметичної прогресії:

          

                            1)  S_n = ((a₁+a_n)/2)*n

                           

                             2)  S_n=((2a₁+d(n-1))/2)*n

         
        Сума n- перших натуральних чисел:
           
                               1 + 2 + 3 +...+ n =( n(n+1))/2