Геометрична прогресія

    Геометрична прогресія - це послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого члена послідовності до попереднього є числом сталим, це число називається знаменником геометричної прогресії. Знаменник геометричної прогресії не дорівнює одиниці. Якщо модуль знаменника більше одиниці, то така полідовність чисел зростає. У випадку коли знаменник більше за нуль але менше за одиницю - така послідовність спадна. Якщо знаменник менше нуля, тобто є відємним числом, то прогресія є знакозмінною.
   
Теорема. Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідні. Тобто
                                                         

                                                            b_n²=b_n-1b_{n+1         (*)}

 

     Для того щоб знайти значення n-го члена геометричної прогресії, візмемо ,наприклад,
послідовністьчисел 2,4,8,16,32... , і знайдемо значення 10 елемента цієї прогресії:
                              1) Позначимо перший член прогресії: b₁= 2;
                              2) Знайдемо знаменник прогресії: q = b₂ / b₁= 4/2 =2;
                              3) Скористаємося формулою: b_n =b₁*q^(n-1) = 2*2⁹=1024.


 Формула суми n- перших членів геометричної прогресії:
                           S_n=(b₁(qⁿ-1))/(q-1)    ,при умові, що  q не дорівнює нулю.
             Або        S_n=(b_nqⁿ-b₁)/(q-1)    ,при умові, що  q не дорівнює нулю.

Порада для розв`язування задач із геометричною прогресією:

Для розв’язання більшості задач на геометричну прогресію, а також комбінованих задач на прогресії зручно діяти так: усі дані задачі на арифметичну прогресію виразити через  b₁ і q, і скласти рівняння або систему рівнянь за умовою задачі (або використовуючи властивість(*) ).